[Calculus] 다변수 함수의 최대 최소

다변수 함수의 최대 최소

 

최대 최소 정리는 고등학교 시절에 많이 들어보았을 것이다. 닫힌구간에 정의된 연속 함수는 항상 최댓값과 최솟값을 갖는다는 정리이다. 우리는 이제 다변수 함수에 적용하면서 정의는 다음과 같아진다. "n차원 공간의 유계인 닫힌집합에서 정의된 연속함수는 최댓값과 최솟값을 갖는다." 

 

n차원 공간의 유계인 닫힌집합이라는 말이 이해가 잘 되지 않을 것이다. 이를 설명하기 위해서 열린 공(open ball)에 대해 먼저 알아보겠다.

 

열린 공(open ball)

n차원 공간의 한 점 P를 중심으로 하고 반지름 길이가 r인(r>0) 열린 공을 기호 B^n(P, r)로 나타내었을 때, 아래 식을 만족하는 것을 뜻한다.

식을 해석하면 B는 중점 P에서 반지름 r로 생기는 원 혹은 구 내부를 뜻한다. 따라서 1차원 열린 공은 우리가 흔히 아는 열린 구간이고, 2차원 열린 공은 경계를 포함하지 않은 원의 내부이다. 3차원에서는 말 그대로 구의 형태인 것이다. 여기서 주의할 점은 경계 부분은 포함하지 않는다는 것이다.

 

유계인 집합(bounded set)

n차원 공간의 임의의 부분집합 A가 유계라는 것은 A를 포함하는 열린 공이 존재한다는 뜻이다. 이때 열린 공은 반지름이 실수이고, 무한대가 아닌 양수여야 한다. 그렇기 때문에 xy평면 위의 직선 혹은 제1사분면 전체와 같은 것은 유계인 집합이 아니다.

 

열린집합, 닫힌집합(open set, closed set)

n차원 공간의 임의의 부분집합 A가 A의 경계점을 포함하지 않으면 열린집합이라고 한다. 다시 말해서 A의 모든 점이 내점이면 이를 열린집합이라고 한다. 반대로 A의 여집합이 열린집합이면 A를 닫힌집합이라고 한다.

 

열린 공의 표면에 해당하는 점은 경계점에 해당되고 만약 부등식에 등호가 붙게 된다면 이는 닫힌집합이 되게 된다.

간단한 예시로 마무리 하겠다.

위의 식에 해당하는 (r, h)들의 집합 A는 유계인 닫힌 집합이다. 따라서 아래의 원기둥 부피 V에 대한 식은 연속함수이므로 최대 최솟값 정리에 의해 최대 최소가 되게 하는 (r, h) 값이 존재하는 것을 알 수 있다.

참고 서적: 반전학습을 위한 다변수 미적분학(경문사)