math13 [Calculus] 이중적분 / 푸비니 정리 이중적분 고등학교에서는 적분을 하나의 변수에 대해서만 했을 것이다. 우리는 다변수 함수를 배웠기 때문에 여러 변수에 대해 적분을 진행할 수 있고, 변수 2개에 대하여 적분하는 것을 이중적분이라고 한다. 방법은 간단하다. 적분을 각 변수에 대해서 각각 1번씩 총 2번 적분하면 되는 것이다. 먼저 이중적분의 정의부터 알아보자. 이중적분 직사각형 모양의 영역 B에서 f(x, y)의 이중적분을 다음과 같이 극한값으로 정의한다. 이때 Bij는 다음과 같이 정의되고, Pij는 Bij 위의 한 점을 의미한다. 이중적분의 의미를 생각해보기 위해 다음 예시를 확인해보자. f(x, y) = 5, B = {(x, y) : 0 2022. 9. 5. [Calculus] 테일러 정리 테일러(Talyor) 정리 테일러 정리는 수학을 사용하는 학문이라면 필수적이라고 볼 수 있다. 테일러 정리는 근사값과 오차를 쉽게 구하는 방법으로 실용적인 부분이 많다. 우리는 변수가 두 개 이상인 다변수 함수에 대해서 구할 것이기 때문에 편미분을 간단히 표기하기 위해 D라는 기호를 다음과 같이 정의한다. f(x, y)가 어떤 열린집합 U에서 (n + 1)번 미분가능한 함수이고, v = (h, k)라고 하자. U의 두 점 P = (a, b)와 P + v = (a + h, b + k)를 연결하는 선분이 U에 포함될 때, 즉 모든 t in [0, 1]에 대해 P + tv가 U에 속할 때, 다음 식을 만족하는 c가 존재한다. 이를 테일러 전개식이라고 한다. 위의 테일러 전개식에서 를 (n - 1)차 테일러 다.. 2022. 8. 29. [선형대수학] Solution Sets of Linear Systems Solution Sets of Linear Systems Solution Set (해집합)은 지금까지 계속 우리가 구하고 싶었던 것이다. 이 포스팅에서는 벡터를 이용한 Solution Set들을 얘기해보겠다. Homogeneous Linear System 우리는 System of Linear Equation이 Ax = 0로 표현될 수 있을 때, Homogeneous라고 말한다. x = 0일 때, 해가 존재할 수 있으므로, 최소 1개의 Solution이 존재한다. 그리고 0 벡터가 해일 때, 이를 Trivial Solution이라고 말한다. 하지만 우리는 Nontrivial Solution이 존재하는지가 주요 관심사다. 이에 대해 확인하는 방법은 이전 포스팅에서 다뤘다. 적어도 한 개의 Free Varia.. 2022. 8. 23. [Calculus] 라그랑주 승수법 (Lagrange Multiplier Method) 라그랑주 승수법 (Lagrange Multiplier Method) 지금까지 함수의 최대 최솟값을 찾을 때는 임계점과 경계점의 값을 비교했다. 라그랑주 승수법은 등위면 위에서 함수의 최대 최솟값을 찾는 방법이다. 열린 집합에서 정의된 함수 f와 g가 미분 가능할 때, g의 등위면 g = c를 만족하는 점 중 P에서 f가 극대 혹은 극솟값을 갖는다고 하자. 이때 P에 대한 g의 Gradient가 0-벡터가 아니면 아래 식을 만족하는 실수 람다(lambda)가 존재한다. 위의 식에서 g = c를 제약조건 (Constraint), f를 목적함수(Objective Function)라고 한다. 이를 증명해보자. 제약조건 g = c 위의 점 P를 지나는 미분 가능한 곡선의 매개변수식을 X(t)라고 하고 X(0) =.. 2022. 8. 22. [선형대수학] The Matrix Equation The Matrix Equation Matrix Equation의 기본적인 아이디어는 Vector의 Linear Combination을 Matrix의 곱 연산으로 표현할 수 있다는 것이다. 만약 A가 mxn Matrix이고, Column이 a1, ... , an으로 이루어져 있고, x는 Rn의 벡터라면 Ax는 x의 Entry를 계수로 하는 A의 Column Vector의 Linear Combination이고 아래와 같이 표현할 수 있다. 그럼 이제 Matrix Equation을 앞에서 배운 개념과 연관 지어 보자. A와 x는 위와 같고, b가 m차원 벡터라면, Matrix Equation을 Ax = b라고 말할 수 있다. 이는 또한 위의 개념을 이용하여 vector equation 형식으로 다음과 같이 .. 2022. 8. 19. [Calculus] 다변수함수의 최대 최소 다변수함수의 최대 · 최소 수학에서는 항상 최대 최소 값을 구하고 싶어 한다. 공학자인 우리가 수학을 공부하는 이유도 그중에 하나일 것이다. 무엇이든지 최적의 값을 찾는 게 중요하기 때문이다. 최댓값에 대해 알아보려면 우리는 먼저 극값에 대해 먼저 알아야 한다. 극값 (local extreme value), 극점 (local extreme point) 열린집합에서 정의된 함수 f와 점 P에 대해 P를 포함하는 어떤 열린 공 B가 있어서 모든 점 X에 대해 f(P) = f(X)이면 f(P)를 극댓값(local maximum), P를 극대점이라고 한다. 극댓값과 극솟값을 극값, 극대점과 극소점을 극점이라고 한다. 우리는 위의 내용을 고등학생 시절에도 배웠을 것이다. 극값, local extreme value.. 2022. 8. 18. 이전 1 2 3 다음
