Calculus9 [Calculus] 이중적분 / 푸비니 정리 이중적분 고등학교에서는 적분을 하나의 변수에 대해서만 했을 것이다. 우리는 다변수 함수를 배웠기 때문에 여러 변수에 대해 적분을 진행할 수 있고, 변수 2개에 대하여 적분하는 것을 이중적분이라고 한다. 방법은 간단하다. 적분을 각 변수에 대해서 각각 1번씩 총 2번 적분하면 되는 것이다. 먼저 이중적분의 정의부터 알아보자. 이중적분 직사각형 모양의 영역 B에서 f(x, y)의 이중적분을 다음과 같이 극한값으로 정의한다. 이때 Bij는 다음과 같이 정의되고, Pij는 Bij 위의 한 점을 의미한다. 이중적분의 의미를 생각해보기 위해 다음 예시를 확인해보자. f(x, y) = 5, B = {(x, y) : 0 2022. 9. 5. [Calculus] 테일러 정리 테일러(Talyor) 정리 테일러 정리는 수학을 사용하는 학문이라면 필수적이라고 볼 수 있다. 테일러 정리는 근사값과 오차를 쉽게 구하는 방법으로 실용적인 부분이 많다. 우리는 변수가 두 개 이상인 다변수 함수에 대해서 구할 것이기 때문에 편미분을 간단히 표기하기 위해 D라는 기호를 다음과 같이 정의한다. f(x, y)가 어떤 열린집합 U에서 (n + 1)번 미분가능한 함수이고, v = (h, k)라고 하자. U의 두 점 P = (a, b)와 P + v = (a + h, b + k)를 연결하는 선분이 U에 포함될 때, 즉 모든 t in [0, 1]에 대해 P + tv가 U에 속할 때, 다음 식을 만족하는 c가 존재한다. 이를 테일러 전개식이라고 한다. 위의 테일러 전개식에서 를 (n - 1)차 테일러 다.. 2022. 8. 29. [Calculus] 라그랑주 승수법 (Lagrange Multiplier Method) 라그랑주 승수법 (Lagrange Multiplier Method) 지금까지 함수의 최대 최솟값을 찾을 때는 임계점과 경계점의 값을 비교했다. 라그랑주 승수법은 등위면 위에서 함수의 최대 최솟값을 찾는 방법이다. 열린 집합에서 정의된 함수 f와 g가 미분 가능할 때, g의 등위면 g = c를 만족하는 점 중 P에서 f가 극대 혹은 극솟값을 갖는다고 하자. 이때 P에 대한 g의 Gradient가 0-벡터가 아니면 아래 식을 만족하는 실수 람다(lambda)가 존재한다. 위의 식에서 g = c를 제약조건 (Constraint), f를 목적함수(Objective Function)라고 한다. 이를 증명해보자. 제약조건 g = c 위의 점 P를 지나는 미분 가능한 곡선의 매개변수식을 X(t)라고 하고 X(0) =.. 2022. 8. 22. [Calculus] 다변수함수의 최대 최소 다변수함수의 최대 · 최소 수학에서는 항상 최대 최소 값을 구하고 싶어 한다. 공학자인 우리가 수학을 공부하는 이유도 그중에 하나일 것이다. 무엇이든지 최적의 값을 찾는 게 중요하기 때문이다. 최댓값에 대해 알아보려면 우리는 먼저 극값에 대해 먼저 알아야 한다. 극값 (local extreme value), 극점 (local extreme point) 열린집합에서 정의된 함수 f와 점 P에 대해 P를 포함하는 어떤 열린 공 B가 있어서 모든 점 X에 대해 f(P) = f(X)이면 f(P)를 극댓값(local maximum), P를 극대점이라고 한다. 극댓값과 극솟값을 극값, 극대점과 극소점을 극점이라고 한다. 우리는 위의 내용을 고등학생 시절에도 배웠을 것이다. 극값, local extreme value.. 2022. 8. 18. [Calculus] 합성함수 미분법 합성함수 미분법 우리는 고등학교 시절에 합성함수 미분에 대해 배운 적이 있다. 그때는 x에 대한 미분만 정의하였지만, 여기서는 다변수 함수에서의 합성함수 미분을 정의할 예정이다. 연쇄 법칙(Chain Rule) 이변수함수 f(x, y)의 편미분이 모두 연속이고 변수 x와 y가 열린 구간 I에서 정의된 t의 함수로서 각각 미분가능할 때, f(x, y)=f(x(t), y(t))는 t의 함수로서 t에 관해 미분 가능하며 아래와 같은 식을 얻는다. x(t)와 y(t)를 X(t)로 바궈서 일반화를 시켜보자. 연쇄법칙은 X(t)라는 곡선을 따라서 변수가 움직일 때 f의 평균 변화율을 구하는 것이다. 아래 예제를 통해 확인해보자. 곡선 y=x^2를 따라 P=(2,4)로 접근하는 경우 P에서의 z=f(x, y)=x^2.. 2022. 8. 10. [Calculus] 방향미분과 미분가능성 방향미분과 미분가능성 우리는 이전까지 편미분을 통해 좌표축과 나란한 방향의 함수의 변화율을 살펴보았다. x, y 방향의 변화율은 계산할 수 있었지만 우리가 원하는 방향의 변화율은 계산할 수 없었는데, 이를 해결할 방법이 바로 방향 미분이다. 방향미분 단위벡터 v와 열린 집합 U에서 정의된 함수 f에 대하여 한 점 P에서의 주어진 방향 v로의 순간변화율을 f의 v-방향미분이라고 한다. 이 식을 통해 다변수 함수의 방향미분을 계산하면 식이 복잡함을 알 수 있다. 이를 gradient를 통해 간단히 계산하기 위해 우리는 먼저 미분가능성을 알아보아야 한다. 미분가능성 아래와 같은 식을 만족하는 벡터 A가 존재하면 f(X)가 점 P에서 미분 가능하다고 한다. 우리는 미분가능성과 방향미분간의 관계를 정리할 수 있다.. 2022. 8. 8. 이전 1 2 다음
