Mathematics16 [선형대수학] Vector Equations Vector Equations Vectors in R2 Vector에 대한 자세한 정의는 이후에 Vector Space를 정의할 때 소개하도록 하겠다. 그전까지는 Vector는 그냥 순서가 정해진 숫자의 나열이라고 생각하자. 예를 들어 R2에 존재하는 Vector를 생각해보자. Column이 1개이면 Column Vector 혹은 그냥 Vector라고 부른다. 여기서 R2는 Real Number(실수), 2는 각 Vector가 2개의 Entries를 갖고 있다는 것이다. R2에서 Vector가 Equal 하려면 각 Entry 모두가 같아야 한다. 예를 들어서 (7, 4)와 (4, 7) Vector는 순서가 다르기 때문에 서로 다른 것이다. 벡터의 합은 다들 알겠지만, 각 Entry의 값을 더하면 된다. .. 2022. 8. 17. [선형대수학] Row Reduction and Echelon Forms Row Reduction and Echelon Forms 저번 포스팅에서 Linear System의 Existence와 Uniqueness에 대한 정의만 내렸었다. 이번에는 그것들을 어떻게 분석하고 조사하는지 알아볼 예정이다. Echelon Forms Rectangular Matrix가 Echelon Form을 만족하려면 다음 세 가지 Properties를 만족해야 한다. 모든 0이 아닌 row들은 0인 row 위에 존재해야 한다. 각 Row의 Leading Entry는 위의 Row보다 Column기준 오른쪽에 존재해야 한다. 모든 Leading Entry들의 아래에 존재하는 Entry들은 0이어야 한다. Leading Entry가 모두 1이다. (0이 아닌 Row에 대하여) 1인 Leading Entr.. 2022. 8. 11. [Calculus] 합성함수 미분법 합성함수 미분법 우리는 고등학교 시절에 합성함수 미분에 대해 배운 적이 있다. 그때는 x에 대한 미분만 정의하였지만, 여기서는 다변수 함수에서의 합성함수 미분을 정의할 예정이다. 연쇄 법칙(Chain Rule) 이변수함수 f(x, y)의 편미분이 모두 연속이고 변수 x와 y가 열린 구간 I에서 정의된 t의 함수로서 각각 미분가능할 때, f(x, y)=f(x(t), y(t))는 t의 함수로서 t에 관해 미분 가능하며 아래와 같은 식을 얻는다. x(t)와 y(t)를 X(t)로 바궈서 일반화를 시켜보자. 연쇄법칙은 X(t)라는 곡선을 따라서 변수가 움직일 때 f의 평균 변화율을 구하는 것이다. 아래 예제를 통해 확인해보자. 곡선 y=x^2를 따라 P=(2,4)로 접근하는 경우 P에서의 z=f(x, y)=x^2.. 2022. 8. 10. [선형대수학] System of Linear Equations System of Linear Equations 선형대수학(Linear Algebra) 같은 경우는 영어로 배우는 것이 낫다고 생각되어 여기서 사용하는 단어는 모두 영어를 사용할 예정이다. 설명은 한국어로 하겠지만, 단어와 주제는 모두 영어이다. Linear Equation 먼저 Linear Equation에 대한 설명이 필요하다. 흔히 우리가 알고 있는 1차 방정식을 일컫는다. Linear Equation을 공식화하면 다음과 같다. 위의 식에서 a1, a2, ... , an, b 등은 coefficients라고 한다. 우리가 흔히 알고 있는 계수라고 생각하면 된다. n의 갯수는 양의 정수로 얼마든지 커질 수 있다. 책에서는 2~5 정도의 크기로 나오지만, real-life에서는 50개나 5000개와 같.. 2022. 8. 9. [Calculus] 방향미분과 미분가능성 방향미분과 미분가능성 우리는 이전까지 편미분을 통해 좌표축과 나란한 방향의 함수의 변화율을 살펴보았다. x, y 방향의 변화율은 계산할 수 있었지만 우리가 원하는 방향의 변화율은 계산할 수 없었는데, 이를 해결할 방법이 바로 방향 미분이다. 방향미분 단위벡터 v와 열린 집합 U에서 정의된 함수 f에 대하여 한 점 P에서의 주어진 방향 v로의 순간변화율을 f의 v-방향미분이라고 한다. 이 식을 통해 다변수 함수의 방향미분을 계산하면 식이 복잡함을 알 수 있다. 이를 gradient를 통해 간단히 계산하기 위해 우리는 먼저 미분가능성을 알아보아야 한다. 미분가능성 아래와 같은 식을 만족하는 벡터 A가 존재하면 f(X)가 점 P에서 미분 가능하다고 한다. 우리는 미분가능성과 방향미분간의 관계를 정리할 수 있다.. 2022. 8. 8. [Calculus] 접평면과 근사식 접평면과 근사식 기울기벡터(gradient) 열린 집합에서 정의된 함수 f의 점 P에서 모든 편미분이 존재할 때 이 편미분을 성분으로 하는 벡터를 기울기벡터라고 한다. 표기는 아래와 같이 나타낸다. 기울기벡터는 점 P에서 f의 미분계수라고도 한다. 예시를 들어보자, 아래는 이변수함수 f(x,y)이다. 이때 P=(x,y)에서 gradient f를 구하는 방법은 다음과 같다. 이렇게 확인할 수 있는 것은 x방면에서 보았을 때는 기울기 2의 직선의 모습을 관찰할 수 있고, y방면에서 보았을 때는 기울기 3의 직선을 확인할 수 있다는 것이다. 이것을 통해 우리는 다변수함수의 그래프 개형을 추측할 수 있다. 접평면(tangent plane) z=f(x, y)의 편도함수가 모두 연속함수일 때, 이 함수의 그래프의 .. 2022. 8. 7. 이전 1 2 3 다음
